Question

若双曲线x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．

解答： 解：圆x²+（y-2）²=1的圆心（0，2），半径r=1．
∵双曲线x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1至多有一个交点，
∴

2

b2+1

≥1，化为b²≤3．
∴e²=1+b²≤4，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．