Question

若f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b，在x=

1

2

时，取得最小值1，
（1）求a和b的值．
（2）求x∈[

1

4

，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）将函数进行化简，利用在x=

1

2

时，取得最小值1，得到结论．
（2）利用换元法将函数转换为一元二次函数，利用二次函数的性质求值域．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
因为f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b=2（log₂x）²-2alog₂x+b，
设t=log₂x，则函数等价为g(t)=2t2-2at+b=2(t-

a

2

)2+b-

a2

2

，
因为当x=

1

2

时，取得最小值1，此时t=log2

1

2

=-1，
所以

a

2

=-1，b-

a2

2

=1，解得a=-2，b=3．…（6分）
（2）因为a=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1）²+1，二次函数的对称轴为t=-1，…（8分）
因为x∈[

1

4

，8]，所以-2≤t≤3…（10分）
所以1≤y≤33．
即函数的值域为[1，33]…（12分）

点评：本题主要考查了对数函数的运算和性质，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用二次函数的图象和性质解决问题是解决本题的关键．