【题目】已知函数f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1).(e=2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值;
(2)求证:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).
【答案】见解析
【解析】(1)解 ∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),
∴g′(x)=-1(x>0).
令g′(x)>0,解得0<x<1;
令g′(x)<0,解得x>1.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)极大值=g(1)=-2.
(2)证明 由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,
∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立),
令t=x-1,得t≥ln(t+1),t>-1,
取t= (n∈N*)时,
则>ln=ln,
∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,
叠加得1+++…+>ln(2···…·)=ln(n+1).
即1+++…+>ln(n+1).
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【题目】已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;
(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.
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【题目】某公司对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据及散点图:
其中, , , .
(1)根据散点图判断与, 与哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及数据,建立关于的回归方程(运算过程及回归方程中的系数均保留两位有效数字).
(3)定价为150元/ 时,天销售额的预报值为多少元?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
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【题目】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
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【题目】已知向量, ,设函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)已知分别为三角形的内角对应的三边长, 为锐角, , ,且恰是函数在上的最大值,求和三角形的面积.
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【题目】某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取50人进行统计(已知这50个身高介于155 到195之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组,第二组,…,第八组,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组和第七组还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为5:2.
(1)补全频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数;
(3)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本,从样本中任意抽取2位男生,求这两位男生身高都在内的概率.
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【题目】设集合A={x|(x-3)(x+a)<0,a∈R},集合B={x∈Z|x2-3x-4<0}.
(1)若A∩B的子集个数为4,求a的范围;
(2)若a∈Z,当A∩B≠时,求a的最小值,并求当a取最小值时A∪B.
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