【题目】已知函数(
),
是
的导数.
(1)当时,令
,
为
的导数.证明:
在区间
存在唯一的极小值点;
(2)已知函数在
上单调递减,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)设,
,注意到
在
上单增,再利用零点存在性定理即可解决;
(2)函数在
上单调递减,则
在
恒成立,即
在
上恒成立,构造函数
,求导讨论
的最值即可.
(1)由已知,,所以
,
设,
,
当时,
单调递增,而
,
,且
在
上图象连续
不断.所以在
上有唯一零点
,
当时,
;当
时,
;
∴在
单调递减,在
单调递增,故
在区间
上存在唯一的极小
值点,即在区间
上存在唯一的极小值点;
(2)设,
,
,
∴在
单调递增,
,
即,从而
,
因为函数在
上单调递减,
∴在
上恒成立,
令,
∵,
∴,
在
上单调递减,
,
当时,
,则
在
上单调递减,
,符合题意.
当时,
在
上单调递减,
所以一定存在
,
当时,
,
在
上单调递增,
与题意不符,舍去.
综上,的取值范围是
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【题目】2020年春节期间,新型冠状病毒(2019﹣nCoV)疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻全国人民众志成城.共克时艰,为疫区助力.我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力,募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市.
(1)现对100家商家抽取5家,其中2家来自A地,3家来自B地,从选中的这5家中,选出3家进行调研.求选出3家中1家来自A地,2家来自B地的概率.
(2)该市一商家考虑增加先进生产技术投入,该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量.现用以往的先进技术投入xi(千元)与月产增量yi(千件)(i=1,2,3,…,8)的数据绘制散点图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近,且:
,
,
,
,
,其中,
,
,根据所给的统计量,求y关于x回归方程,并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量.
附:对于一组数据(u1,v1)(u2,v2),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
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【题目】已知椭圆的普通方程为:
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,正方形
的顶点都在
上,且
逆时针依次排列,点
的极坐标为
(1)写出曲线的参数方程,及点
的直角坐标;
(2)设为椭圆
上的任意一点,求:
的最大值.
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【题目】某购物网站开展一种商品的预约购买,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为;(ⅱ)当中签率不超过
时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加
.为了使中签率超过
,则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
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【题目】《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为和
的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形.该矩形长为
,宽为内接正方形的边长
.由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论,如图3.设
为斜边
的中点,作直角三角形
的内接正方形对角线
,过点
作
于点
,则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等得;
②由可得
;
③由可得
;
④由可得
.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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【题目】已知,
.
(1)当时,求函数
图象在
处的切线方程;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求
的取值范围;
(3)若存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求
的取值范围.
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