Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁、F₂，|F1F2|=4

2

，离心率e=

2 2

3

．过直线l：x=

a2

c

上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：x₀x+y₀y=r²”．由上述结论类比得到：“过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上一点P（x₀，y₀）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2

2

，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

Answer 1

分析：（1）由过圆上一点的切线方程，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程．
（2）由（1）的结论，我们可以设出A，B两点的坐标，列出切线方程，又由M为直线l：x=

a2

c

上任意一点，故可知M为两条切线与l的公共交点，消参后即得答案．
（3）由（2）中结论，我们可得M点的坐标，根据l的方程我们可以计算出AB边上的高，再由弦长公式计算出AB的长度，代入三角形面积公式即可．

解答：解：（1）类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：
过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为

x0

a2

x+

y0

b2

y=1．
（2）由|F1F2|=4

2

，离心率e=

2 2

3

得c=2

2

，a=3∴b=1
∴椭圆C的方程为：

x2

9

+y2=1
l的方程为：x=

9 2

4

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M的纵坐标为t，即M(

9 2

4

，t)，
由（1）的结论
∴MA的方程为

x1x

9

+y1y=1
又其过M(

9 2

4

，t)点，
∴

2

x_+4ty1=4
同理有

2

x_+4ty2=4
∴点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线

2

x+4ty=4上；
当x=2

2

，y=0时，方程

2

x+4ty=4恒成立，
∴直线AB过定点(2

2

，0)
（3）t=1∴

2 x+4y=4 x2 9 +y2=1

消去y得17x2-36

2

x=0，
∴x1+x2=

36 2

17

，x₁x₂=0，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

=

54

17

dM-AB=

3 2

4

∴S△ABM=

1

2

|AB|dM-AB=

81 2

68

．

点评：本题综合的考查了椭圆与直线的相关知识点，本题的切入点是由类比思想探究出的过椭圆上一点的切线方程，运用设而不求的方法探究出切点A，B的坐标满足的共同性质，从而得到两切点确定的直线系的方程，并由直线系方程得到结论直线过定点；已知三角形一顶点坐标和对边所在的直线，我们可以代入点到直线距离公式求出该边上三角形的高，再由边长不难得到面积．