Question

6．sinx+$\sqrt{3}$cosx=a在区间（0，2π）内的个相异的实数根x₁，x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈（0，2π），画出函数的图象，可得满足条件的a的取值范围；
（2）结合（1）中函数的对称性，可得x₁+x₂的值．

解答 解：（1）令f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈（0，2π），
则函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：若sinx+$\sqrt{3}$cosx=a在区间（0，2π）内的个相异的实数根x₁，x₂．
则a∈（-2，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2）；
（2）当a∈（-2，$\sqrt{3}$）时，x₁，x₂关于x=$\frac{7π}{6}$对称，x₁+x₂=$\frac{7π}{3}$；
当a∈（$\sqrt{3}$，2）时，x₁，x₂关于x=$\frac{π}{6}$对称，x₁+x₂=$\frac{π}{3}$；

点评 本题考查的知识点是三角函数的图象和性质，和差角（辅助角）公式，其中利用和差角（辅助角）公式将函数解析式化简，是解答的关键．