Question

△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b²=ac，cosB=

3

4

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）设

BA

• 

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简b²=ac，得到一个关系式，再由cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据诱导公式得到sin（A+C）=sinB，然后将所求的式子两分母分别利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后，将sin（A+C）=sinB及得到的关系式代入，得到关于sinB的关系式，再将sinB的值代入即可求出值；
（2）由a，c及cosB的值，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，得到ac的值，进而由b²=ac确定出b²的值，再利用余弦定理表示出cosB，将cosB，b²与ac的值代入，利用完全平方公式变形后再将ac的值代入，即可求出a+c的值．

解答：解：（1）∵b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
又cosB=

3

4

，且B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，又sin（A+C）=sinB，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

；
（2）∵

BA

•

BC

=

3

2

，cosB=

3

4

，
∴ac•cosB=

3

4

ac=

3

2

，即ac=2，
∴b²=ac=2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-2

4

=

(a+c)2-2ac-2

4

=

(a+c)2-6

4

=

3

4

，
∴（a+c）²=9，
则a+c=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．