Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，利用三垂线定理即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．求出平面PBC的法向量

n

，利用点到平面的距离公式d=

| PA • n |

| n |

即可得出．
（3）求出平面PAB的法向量

m

，利用两个平面的法向量的夹角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

，即可得出二面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，∴PD⊥BC．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • PC =y-z=0 n • CB =x=0

，
令y=1，则x=0，z=1.

n

=（0，1，1）．
∴点A到平面PBC的距离d=

| PA • n |

| n |

=

2

2

=

2

．
（3）由（2）可得

AB

=（0，2，0），

PB

=（1，1，-1）．
设平面PAB的法向量为

m

=（a，b，c），则

m • AB =2b=0 m • PB =a+b-c=0

，令a=1，则c=1，b=0．
∴

m

=(1，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
由图形上看：二面角A-PB-C的平面角应是一个钝角，故其余弦值为-

1

2

．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量及向量的夹角公式分别得出点到平面的距离、二面角的余弦值、线面垂直的判定与性质等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力和推理能力及计算能力，属于难题．