Question

【题目】某企业接到生产3000台某产品的三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产部件6件，或部件3件，或部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）．

（1）设生产部件的人数为，分别写出完成三件部件生产需要的时间；

（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

Answer 1

【答案】（1）A:，B:，C:，其中均为1到200之间的正整数；（2）当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产三种部件的人数分别为44，88，68．

【解析】

试题分析：（1）产品件数都是3000，关键是求出人数分配，由题意生产A部件人数为，则B有人，C有人，这样由产品件数除以人数可得时间；（2）的最大值就是完成任务所需时间，记为，注意到，为了求最小值，因此可分类和，为减函数，为增函数，时，，在时，取得最小值，当时，，此时

，因此，由于是递增，因此也量时，取得最小值，比较两个最小值的大小后发现时更小，从而确定时，时间最小．

试题解析：（1）设完成三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为，由题设有，

，

其中均为1到200之间的正整数

（2）完成订单任务的时间为．

易知，为减函数，为增函数，注意到，

于是①当时，，此时，，

由函数的单调性知，当时，取得最小值，解得，

由于，而，∵，

∴当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为

②当时，，由于为正整数，∴，

此时，．

记，易知，是增函数，

则，

由函数的单调性知，当时，取得最小值，解得，

由于，而，

此时，完成订单任务的最短时间大于．

综上所述，当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产三种部件的人数分别为44，88，68．