Question

17．曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0．设切点为P（x₀，y₀），利用导数的几何意义求得切点P，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0．
设切点为P（x₀，y₀），
∵y′=$\frac{2}{x}$，
∴斜率$\frac{2}{x}$=2，
解得x₀=1，因此y₀=2ln1=0．
∴切点为P（1，0）．
则点P到直线2x-y+3=0的距离d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
∴曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题．