Question

已知正四面体ABCD的棱长为1，若以

AB

的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由题意求出左视图的面积，然后确定俯视图面积的指正的范围，即可得到该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围．

解答：解：正四面体ABCD的棱长为1，若以

AB

的方向为左视方向，所以左视图为等腰三角形，边长为

3

2

，

3

2

，1，
面积为

1

2

×1×

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

4

，
俯视图面积最小值为等腰三角形，边长为

3

2

，

3

2

，1，面积为

1

2

×1×

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

4

，
俯视图为对角线是1的正方形时面积最大，面积的最大值为：

1

2

×1×1=

1

2

，
所以该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为：[

2

2

，

2 +2

4

]．
故答案为：[

2

2

，

2 +2

4

]．

点评：本题是中档题，考查几何体的三视图的画法，空间想象能力，逻辑思维能力和计算能力，找出俯视图的最小值与最大值是解题的关键．