Question

已知正四面体ABCD的各棱长为a，
（1）求正四面体ABCD的表面积；
（2）求正四面体ABCD外接球的半径R与内切球的体积V_内．

Answer 1

分析：（1）正四面体ABCD的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；
（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体ABCD外接球与内切球，画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的即可．

解答：解：（1）∵正四面体ABCD的各棱长为a，
∴正四面体ABCD的表面积=4×

3

4

a2=

3

a2．
（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体ABCD的棱长为a，
∴正方体的棱长为

2

2

a，
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，
球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，
∵正方体的棱长为

2

2

a，所以

3

×

2

2

a=2R，
∴R=

6

4

a．
正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O． 
设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，
且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．
设正四面体ABCD底面面积为S． 
将球心O与四面体的4个顶点全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=

1

3

•S•r 而正四面体体积V₂=

1

3

•S•（R+r）
从而有，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•（R+r），
所以，

r

R

=

1

3

．
∴正四面体内切球的半径r=

1

3

×

6

4

a=

6

12

a．
∴内切球的体积V_内=

4

3

πr³=

4

3

π×(

6

12

)3a³=

6

216

πa3．

点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的外接球．