[题目]设是由组成的行列的数表(每个数恰好出现一次).且．若存在. .使得既是第行中的最大值.也是第列中的最小值.则称数表为一个“数表为数表的一个“值 . 对任意给定的.所有“数表构成的集合记作．判断下列数表是否是“数表．若是.写出它的一个“值 ,. (Ⅱ)求证:若数表是“数表 .则的“值是唯一的,(Ⅲ)在中随机选取一个数表.记的“值为.求的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且．

若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，

对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．

判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；

，

(Ⅱ)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；

(Ⅲ)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：

试题解析：（Ⅰ根据定义可得）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”.

（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，则分①若， ②若，③若，，三种情况讨论，得出矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：对任意的由，，，…，组成的行列的数表.

定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即（其中，），讨论其性质；定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即（其中，）

讨论其性质，记，则，即数表与数表的“值”之和为，

的数学期望.

方法2：

所有可能的取值为.

记中使得的数表的个数记作，，则

则，由此可求出的数学期望．

（Ⅰ）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”.

（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，

①若，则；

②若，则；

③若，，则一方面

，

另一方面

；

矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：

对任意的由，，，…，组成的行列的数表.

定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即

（其中，）

显然有：

①数表是由，，，…，组成的行列的数表

②数表的第行的元素，即为数表的第列的元素

③数表的第列的元素，即为数表的第行的元素

④若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值

则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.

定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即

（其中，）

显然有

①数表是由，，，…，组成的行列的数表

②若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值

则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值

特别地，对由，，，…，组成的行列的数表

①数表是由，，，…，组成的行列的数表

②若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值

则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值

即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.

记，则，即数表与数表的“值”之和为，

故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的 “值”之和为，

故的数学期望.

方法2：

所有可能的取值为.

记中使得的数表的个数记作，，则

则，则

，

故， .

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