Question

9．若函数f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g（x）=x²+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-$∞，\sqrt{e}$）
• B． （$-∞，\frac{1}{\sqrt{e}}$）
• C． （$-\frac{1}{\sqrt{e}}，\sqrt{e}$）
• D． （$-\sqrt{e}，\frac{1}{\sqrt{e}}$）

Answer 1

分析 由题意可得e^x₀-$\frac{1}{2}$-ln（-x₀+a）=0有负根，函数h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．

解答 解：由题意可得：
存在x₀∈（-∞，0），满足x₀²+e^x₀-$\frac{1}{2}$=（-x₀）²+ln（-x₀+a），
即e^x₀-$\frac{1}{2}$-ln（-x₀+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e^x₀-$\frac{1}{2}$-ln（-x₀+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）为增函数，
∴h（0）=e⁰-$\frac{1}{2}$-lna＞0，
∴lna＜ln$\sqrt{e}$，
∴a＜$\sqrt{e}$，
∴a的取值范围是（-∞，$\sqrt{e}$），
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．