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数列{an}满足Sn=2n-an,其中Sn=a1+a2+a3+…+an,求a1,a2,a3,a4值,猜想an,并用数学归纳法加以证明.
分析:根据Sn=2n-an,利用递推公式,求出a1,a2,a3,a4,从而总结出规律求出an,然后利用归纳法进行证明.
解答:解:由a1=2-a1,得a1=1,
由a1+a2=2×2-a2,得a2=
3
2

由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=
7
4

由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=
15
8
,猜想an=
2n-1
2n-1

证明:(1)当n=1,由上面计算可知猜想成立,
(2)假设n=k时猜想成立,即ak=
2k-1
2k-1

此时Sk=2k-ak=2k-
2k-1
2k-1

当n=k+1时,Sk+1=2(k+1)-ak+1,得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1
因此ak+1=
1
2
[2(k+1)-Sk]=k+1-
1
2
(2k-
2k-1
2k-1
)=
2k+1-1
2(k+1)-1

∴当n=k+1时也成立,
∴an=
2n-1
2n-1
(n∈N+).
点评:此题主要考查归纳法的证明,归纳法一般三个步骤:(1)验证n=1成立;(2)假设n=k成立;(3)利用已知条件证明n=k+1也成立,从而求证;
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N)
(Ⅰ)计算a1,a2,a3,a4
(Ⅱ)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4
(2)由(1)猜想通项公式an

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 (n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数列{ an }的前n项和.
(Ⅰ)求通项an
(Ⅱ)记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,若Tn<2对所有的n∈N*都成立.求证:0<t≤1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若正数数列{an}满足Sn=
1
2
(an+
1
an
)
,其中Sn是数列{an}的前n项和.
(1)求Sn
(2)若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
,是否存在bk=bm(k≠m)?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,说明理由.

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