Question

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=

2 ta n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，S₂+S₁=

2 ta 2

+2，得a₂=

2 ta 2

，所以a₂=

1

t

，a_n+a_n-1=t（

2 a n

-

2 a n-1

）（n≥3），（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，所以a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）由T₁=1＜2，T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）=t+t²

n-1

n

，知要使T_n＜2，对所有的n∈N^*恒成立，只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，由此能够证明：0＜t≤1．

解答：（Ⅰ）解：∵a₁=1，由S₂+S₁=

2 ta 2

+2，
得a₂=

2 ta 2

，∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
S_n+S_n-1=

2 ta n

+2，①
S_n-1+S_n-2=

2 ta n-1

+2 （n≥3）②
①-②得a_n+a_n-1=t（

2 a n

-

2 a n-1

）（n≥3），
（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，
由数列{ a_n }为正项数列，
∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
即数列{ a_n }从第二项开始是公差为

1

t

的等差数列．
∴a_n=

1n=1 n-1 t n≥2

（Ⅱ）证明：∵T₁=1＜2，当n≥2时，
T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）
=t+t²

n-1

n

．
要使T_n＜2，对所有的n∈N^*恒成立，
只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，
∴0＜t≤1．

点评：本题考查数列前n项和与数列通项公式的关系、等差数列、裂项求和法等．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．