Question

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与

1

n

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正项数列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可证明结论；
（2）根据（1），不难得出a₁＜1，a₂＜1，利用数学归纳法证明即可．证明时先证：①当n=1时成立．②再假设n=k（k≥1）时，成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

，再递推到n=k+1时，成立即可．

解答：解：（1）a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在数列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1
故数列{a_n}中的任意一项都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1=

1

1

，
那么a2≤a1-

a

2 1

=-(a1-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

＜

1

2

，
由此猜想：an＜

1

n

（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即ak＜

1

k

≤

1

2

，
那么ak+1≤ak-

a

2 k

=-(ak-

1

2

)2+

1

4

＜-(

1

k

-

1

2

)2+

1

4

=

1

k

-

1

k2

=

k-1

k2

＜

k-1

k2-1

=

1

k+1

，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N^*，都有an＜

1

n

．

点评：本题主要考查数列与不等式问题和数学归纳法，对探究性问题先归纳，再猜想，最后利用数学归纳法证明，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立，属中档题．