Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）有条件可得

log	(an+1+1) 2

=2log₂（a_n+1），变形可得

bn+1

bn

=2，从而数列{b_n}为等比数列．
（2）求出数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的通项为

1

n

-

1

n+1

，可得T_n =1-

1

n+1

＜1，要使不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立，只要 log0.5(a2-

1

2

a)≥1  即可，即

a2- a 2 ＞0 a2- a 2 ≤ 1 2

，
解不等式组求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴

log	(an+1+1) 2

=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴

bn+1

bn

=2，∴数列{b_n}为等比数列．
（2）∵数列{b_n}为等比数列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴

1

log2bn+1•log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，∵不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立，
只要 log0.5(a2-

1

2

a)≥1=log_0.5^0.5  即可，即

a2- a 2 ＞0 a2- a 2 ≤ 1 2

，即 

a＜0  或 a＞ 1 2 - 1 2 ≤ a ≤1

，
解得-

1

2

≤a＜0，或 

1

2

＜a≤1，故a的取值范围 为[-

1

2

，0）∪（

1

2

，1]．

点评：本题主要考查数列求和和的方法，等比关系的确定，以及函数的恒成立问题，寻找使不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立的条件，是解题的难点．