Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）
（1）求证：数列{

an

2n+1

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项a_n．
（2）设bn=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和为S_n，并求S_n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²，知∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1），所以{

an

2n+1

}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）由bn=

1

an

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，得Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(1-

1

2n+1

)，由此能求出S_n的取值范围．

解答：解：（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²，
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1），
∴

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2，
∴{

an

2n+1

}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=4n²-1．
（2）由（1）得，bn=

1

an

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴Sn∈[

1

3

，

1

2

)．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求解方法，解题时要注意构造法和裂项求和法的合理运用．