Question

已知正项数列a_n中，a₁=2，点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，数列b_n中，点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+3上，其中T_n是数列b_n的前项和．（n∈N₊）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上得到a_n+1-a_n=13所以a_n是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+3得到Tn=-

1

2

bn+3，再应用通项与前n项和之间的关系求解．

解答：解：（1）由题意得：a_n+1=a_n+1?a_n+1-a_n=1
∴a_n是以2为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=n+1
（2）由题意得：Tn=-

1

2

bn+3①
当n=1时，b₁=2
当n≥2时，Tn-1=-

1

2

bn-1+3②
①-②得：Tn-Tn-1=-

1

2

bn+

1

2

bn-1
bn=-

1

2

bn+

1

2

bn-1

bn

bn-1

=

1

3

∴bn=2•(

1

3

)n-1
∴Tn=-

1

2

×2×(

1

3

)n-1+3=-(

1

3

)n-1+3
∴b_n是以2为首项，

1

3

为公比的等比数列

点评：本题通过函数图象与点的关系，转化为横纵坐标间的关系，构建数列，来考查数列的通项公式的求法及通项与前n项和之间的关系．