Question

已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+

an

1+an

(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1验证不等式成立；假设n=k时不等式成立，证明n=k+1时不等式也成立即可．

解答：证明：当n=1时，a2=1+

a1

1+a1

=

3

2

，a₁＜a₂，所以n=1时，不等式成立．
假设n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1成立，则n=k+1时，
ak+2-ak+1= 1+

ak+1

1+ak+1

-ak+1
=1+

ak+1

1+ak+1

-(1+

ak

1+ak

)
=

ak

1+ak

-

ak+1

1+ak+1

=

ak+1-ak

(1+ak+1)(1+ak)

＞0；
即a_k+2-a_k+1＞0，
所以n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．

点评：本题考查数列与不等式的证明，考查数学归纳法证明步骤的应用，注意证明n=k+1时必须用上假设，考查逻辑推理能力．