Question

已知正项数列{a_n}，Sn=

1

8

(an+2)2
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

1

2

an-30，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据数列Sn与a_n的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，求出a_n+1-a_n-4=0后即可证明{a_n}是等差数列．
 （2）在（1）的基础上求出a_n=4n-2，则bn=

1

2

an-30=2n-31，再利用等差数列前n项和公式计算得出结果．

解答：解：（1）an+1=Sn+1-Sn=

1

8

(an+1+2)2-

1

8

(an+2)2
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n＞0，
∴a_n+1+a_n≠0
∴a_n+1-a_n=4所以{a_n}是等差数列
（2）由 （1）知：a1=S1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2
∴a_n=4n-2，则bn=

1

2

an-30=2n-31
∴{b_n}是以b₁=-29为首项，d=2为公差的等差数列
∴数列{b_n}的前n项和为-29n+

n(n-1)

2

×2=n²-30n．

点评：本题考查等差数列的定义、判断，前n项和的计算，用到了数列中Sn与a_n的固有关系，考查计算、变形构造、转化、论证能力．