Question

已知正项数列{a_n}中a₁=2，点(

an

，an+1)在函数f(x)=

1

3

x3+x的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-

1

2

x+3上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=

1

2

anbn，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：Tn＜

15

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=

1

3

x3+x，知f′（x）=x²+1，由正项数列{a_n}中，点(

an

，an+1)在函数f(x)=

1

3

x3+x的导函数y=f'（x）图象上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式；数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-

1

2

x+3上，故Sn=-

1

2

bn+3，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

1

2

anbn=

1

2

(n+1)•2•(

1

3

)n-1=(n+1)•(

1

3

)n-1，知Tn=2+3×(

1

3

) +4×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n-2+(n+1)×(

1

3

)n-1，用错位相减法能够证明Tn=

15

4

-

3

4

•(

1

3

)n-1-（n+1）×(

1

3

)n≤

15

4

．

解答：（Ⅰ）解：∵函数f(x)=

1

3

x3+x，
∴f′（x）=x²+1，
∵正项数列{a_n}中，点(

an

，an+1)在函数f(x)=

1

3

x3+x的导函数y=f'（x）图象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∵a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-

1

2

x+3上，
∴Sn=-

1

2

bn+3，①
∴b1=-

1

2

b1+3，
解得b₁=2．
Sn-1=-

1

2

bn-1+3，②
①-②，得bn=-

1

2

bn+

1

2

bn-1，
∴

3

2

bn=

1

2

bn-1，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴bn=2•(

1

3

)n-1．
（Ⅱ）证明：∵cn=

1

2

anbn=

1

2

(n+1)•2•(

1

3

)n-1=(n+1)•(

1

3

)n-1，
∴Tn=2+3×(

1

3

) +4×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n-2+(n+1)×(

1

3

)n-1，

1

3

Tn=2×

1

3

+3×(

1

3

)2+4×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n-1+(n+1)×(

1

3

)n，
∴

2

3

Tn=2+

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-1-（n+1）×(

1

3

)n
=2+

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（n+1）×(

1

3

)n
=2+

1

2

-

1

2

•(

1

3

)n-1-（n+1）×(

1

3

)n，
∴Tn=

15

4

-

3

4

•(

1

3

)n-1-（n+1）×(

1

3

)n≤

15

4

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列通项公式的求法和数列前n项和的证明，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．