Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_n-2S_n=1，数列{b_n}满足b_n=2log

1

2

an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与{b_n}的前n项和T_n；
（2）设数列{

bn

an

}的前n项和为U_n，求证：0＜U_n≤4．

Answer 1

分析：（1）取n=1解出数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，然后用n-1代替n，将得到的式子与原式作差，可得关于anan-1的关系式，从而得出数列{a_n}的是一个等比数列，最后可得数列{a_n}的通项a_n，再将这个通项代入到b_n=2log

1

2

an，n∈N^*，从而得出b_n=4-2n，为等差数列，用公式可得其{b_n}的前n项和T_n=-n²+3n；
（2）数列{

bn

an

}的通项是等差与等比对应项的积，因此可以用错位相减法求出它的前n项和为U_n，最后根据数列U_n的单调性结合不等式的性质，可以证明不等式0＜U_n≤4成立．

解答：解：（1）易得a₁=

1

2

．…（1分）
当n≥2时，4a_n-2S_n=1，…①
4a_n-1-2S_n-1=1…②
①-②，得4a_n-4a_n-1-2a_n=0⇒a_n=2a_n-1．
∴

an

an-1

=2（n≥2）．
∴数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=2^n-2．…（4分）
从而b_n=4-2n，其前n项和T_n=-n²+3n…（6分）
（2）∵{a_n}为等比数列、{b_n}为等差数列，

bn

an

=

4-2n

2n-2

，
∴U_n=

2

1 2

+

0

1

+

-2

2

+…+

6-2n

2n-3

+

4-2n

2n-2

…③

1

2

U_n=

2

1

+

0

2

+

-2

22

+…+

6-2n

2n-1

+

4-2n

2n-1

…④
③-④，得

1

2

U_n=4-

2

1

-

2

2

-

2

22

-…-

2

2n-2

-

4-2n

2n-1

，
∴U_n=

4n

2n-1

…（10分）
易知U₁=U₂=4，当n≥3时，U_n-U_n-1=

2-n

2n-3

＜0．
∴当n≥3时，数列{U_n}是递减数列．…（11分）
∴0＜U_n＜U₃=3．
故0＜U_n≤4．…（12分）

点评：本题考查了数列的通项与求和，属于中档题．解题时一方面要注意证明一个数列成等比（差）数列，要交代它的首项和公比（差），另一方面要注意利用错位相减法求数列的前n项和的技巧性，此题对运算能力的要求较高．