Question

6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD
（2）PD⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．

解答 证明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，AE?面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，
∴PA=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面 ABCD，可得AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．