Question

17．如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE上的动点．
（1）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求点A到平面DMF的距离．

Answer 1

分析 （1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．连结CE，交DF于N，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF；
（2）用等体积法可得点A到平面DMF的距离．

解答 解：（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．
证明如下：连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC?平面DMF，
所以AC∥平面DMF．（4分）
（2）设点A到平面DMF的距离为h，则
△MDF中，DM⊥MF，DM=$\sqrt{2}$，MF=$\sqrt{6}$
用等体积法可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}×\sqrt{6}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×2
所以h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以点A到平面DMF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查点到平面的距离的求法，正确运用线面平行的判定，合理运用等体积法，是解题的关键．