Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow{b}$|且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤λ²+1恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． -2$\sqrt{2}$≤λ≤2$\sqrt{2}$
• B． λ≤-2$\sqrt{2}$或λ≥2$\sqrt{2}$
• C． λ≥2$\sqrt{2}$
• D． λ≤-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），我们可以得到|$\overrightarrow{b}$|=1，再由|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow{b}$|可设$\overrightarrow{a}$=9（sinα，cosα），代入平面向量数量积的坐标运算公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围，结合函数恒成立的条件，可以得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow{b}$|，
∴设$\overrightarrow{a}$=9（sinθ，cosθ）
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9sinθ•cosα+9cosθ•sinα=9sin（α+θ）∈[-9，9]
若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤λ²+1恒成立，
则λ²≥8，
解得λ≥2$\sqrt{2}$或λ≤-2$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，函数恒成立问题，其中利用函数恒成立的条件，结合已知条件，得到一个关于λ的不等式，是解答本题的关键．