Question

20．已知△ABC的三边长分别为5，6，7，点O是△ABC三个角分线的交点，若BC=7，则△OBC的面积为$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和余弦定理求出cosC的值，由平方关系和内角的范围求出sinC的值，代入三角形面积公式求出△ABC的面积，根据三角形角平分线的性质、面积相等点O到BC的距离，再求出△OBC的面积．

解答 解：由题意得，△ABC的三边长分别为5，6，7，且BC=7，
不妨设AB=5，AC=6，
由余弦定理得，cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{36+49-25}{2×6×7}$=$\frac{5}{7}$，
又0＜C＜π，则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×BC×AC×sinC$=$\frac{1}{2}×7×6×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$6\sqrt{6}$，
因为点O是△ABC三个角分线的交点，所以点O到各个边的距离相等，
设点O到各个边的距离是h，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$（5+6+7）h=$6\sqrt{6}$，解得h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以△OBC的面积S=$\frac{1}{2}×BC×h$=$\frac{1}{2}×$7×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{7\sqrt{6}}{3}$
故答案为：$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查余弦定理，三角函数的平方关系，三角形的面积公式，三角形角平分线的性质，以及等积法的应用，属于中档题．