Question

4．已知{a_n}满足：对于任意正整数n都有，a₁+a₂+a+₃…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n），且a_n-1+a_n≠1（n≥2）
（1）若数列的前n项和S_n，证明：a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²
（2）设数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{1}{{a}_{2015}}$b_n²+b_n，求证：b_n＜1（n∈N^*，n≤2015）

Answer 1

分析 （1）通过a₁+a₂+a+₃…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n）与a₁+a₂+a+₃…+a_n+a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）作差，整理可知数列{a_n}是以首项、公差均为1的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=n、b_n+1=$\frac{1}{2015}$•${{b}_{n}}^{2}$+b_n，计算出前几项的值，放缩后猜想：b_n＜$\frac{1}{2}$+（n-1）•$\frac{1}{2015}$（2≤n≤2015）并用数学归纳法证明，进而可得结论．

解答 证明：（1）∵a₁+a₂+a+₃…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n），
∴a₁+a₂+a+₃…+a_n+a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1），
两式相减得：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）-$\frac{1}{2}$（a_n²+n）=$\frac{1}{2}$${{a}_{n+1}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${{a}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
整理得：${{a}_{n}}^{2}$=${{a}_{n+1}}^{2}$-2a_n+1+1=（a_n+1-1）²，
∴a_n=a_n+1-1或a_n+a_n+1-1=0，
又∵a_n-1+a_n≠1（n≥2），
∴a_n=a_n+1-1，即a_n+1-a_n=1，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$（${{a}_{1}}^{2}$+1），
∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
而1³+2³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$，
∴a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²；
（2）∵a_n=n，
∴b_n+1=$\frac{1}{{a}_{2015}}$b_n²+b_n=$\frac{1}{2015}$•${{b}_{n}}^{2}$+b_n，
∵b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₂=$\frac{1}{2015}$•${{b}_{1}}^{2}$+b₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2015}$，
b₃=$\frac{1}{2015}$•${{b}_{2}}^{2}$+b₂
=$\frac{1}{2015}$•（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2015}$）²+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2015}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2015}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{201{5}^{2}}$+$\frac{1}{16}$•$\frac{1}{201{5}^{3}}$
＜$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2015}$，
猜想：b_n＜$\frac{1}{2}$+（n-1）•$\frac{1}{2015}$（2≤n≤2015）．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=2时，显然成立；
②假设当n=k（3≤k≤2015）时也成立，即b_k＜$\frac{1}{2}+$（k-1）•$\frac{1}{2015}$．
则当n=k+1时，b_k+1=$\frac{1}{2015}$•${{b}_{k}}^{2}$+b_k
＜$\frac{1}{2015}$+b_k
＜$\frac{1}{2015}$+$\frac{1}{2}+$（k-1）•$\frac{1}{2015}$
=$\frac{1}{2}+$k•$\frac{1}{2015}$，
即当n=k+1时结论也成立；
综上所述，b_n＜1（n∈N^*，n≤2015）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．