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    14．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    分析 ①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x2=0，x3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三点恰好构成等边三角形．

    解答 解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
    ∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；
    当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
    即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
    ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
    ∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确；
    ③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
    ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
    ④取x1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x2=0，x3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
    ∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
    故选：D．

    点评 本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．

    练习册系列答案
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    （1）若数列的前n项和Sn，证明：a13+a23+a33+…+an3=Sn2
    （2）设数列{bn}满足b1=$\frac{1}{2}$，bn+1=$\frac{1}{{a}_{2015}}$bn2+bn，求证：bn＜1（n∈N*，n≤2015）

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    5．△ABC中，三个角A，B，C所对的边a，b，c满足a2+b2=c2-$\sqrt{3}$ab，则C=（　　）
    A．150°B．135°C．120°D．60°

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    2．曲线$y=\frac{1}{2}{x^2}$与直线$y=x+\frac{3}{2}$的交点坐标是（3，$\frac{9}{2}$），（-1，$\frac{1}{2}$）．

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    9．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{x-2}}}\\{a-x}\end{array}}\right.$ $\begin{array}{l}{x＞1}\\{0≤x＜1}\end{array}$，且$f（{\frac{f（2）}{2}}）=\frac{1}{2}$，则实数a=（　　）
    A．-1B．0C．$\frac{1}{2}$D．1

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    19．已知直线x=m与函数f（x）=sinx，函数g（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）的图象分别相交于M、N两点，则|MN|的最大值为（　　）
    A．1B．$\sqrt{2}-1$C．$\sqrt{2}$D．2

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    6．复数z=1-i，则$\frac{z}{\bar z-1}$=（　　）
    A．-1+iB．-1-iC．1-iD．1+i

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    3．先阅读下面文字：
    “求$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+…}}}$的值时，采用了如下的方式：令$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+…}}}$=x，则有x=$\sqrt{1+x}$，两边平方，得x2=1+x，解得x=$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$（负值舍去）”．用类比的方法可以求得：当0＜q＜1时，1+q+q2+q3+…的值为$\frac{1}{1-q}$．

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    4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与BD所成的角为（　　）
    A．30°B．45°C．60°D．90°

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