(本题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设直线l是抛物线的准线,求证:以AB为直径的圆与准线l相切.
(1) y2=2x (2)关键证明AB的中点到准线的距离等于AB的一半。
解析试题分析:解:(1)设抛物线y2=2px(p>0),将点(2,2)代入得p=1.
∴y2=2x为所求抛物线的方程.
(2)证明:设lAB的方程为:x=ty+,代入y2=2x得:y2-2ty-1=0,设AB的中点为M(x0,y0),则y0=t,x0=
.
∴点M到准线l的距离d=x0+=
+
=1+t2.又AB=2x0+p=1+2t2+1=2+2t2,∴d=
AB,故以AB为直径的圆与准线l相切.
考点:抛物线的方程;抛物线的性质。
点评:求抛物线的方程,前提是设抛物线的方程,而设置抛物线可结合焦点,像本题通过画图,知道抛物线的焦点在x轴的正半轴上,因而可令抛物线的方程为y2=2px(p>0)(式子中的x 对应x轴,2px前面是正的对应正半轴)。第二题涉及直线与抛物线这两种曲线,当两者相交时,常常在联立方程组后,用到根与系数的关系式:
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(本小题满分12分)
已知点在椭圆C:
上,且椭圆C的离心率
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点作直线交椭圆C于点A.B.△ABQ的垂心为T,是否存在实数m ,使得垂心T在y轴上.若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
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(本小题满分12分)
抛物线顶点在坐标原点,焦点与椭圆的右焦点
重合,过点
斜率为
的直线与抛物线交于
,
两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求△的面积.
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在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0)。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点。
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(本小题满分12分)
已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(I )求抛物线C的方程;
(II)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N,试问在x轴上是否存 在定点Q,使Q点在以MN为直径的圆上,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
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(本小题满分12分)
抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且。
(1) 求抛物线方程;
(2) 在x轴上是否存在一点C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在,求出点C的坐标,若不存在,说明理由.
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已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.
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某海域有、
两个岛屿,
岛在
岛正东4海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线
,曾有渔船在距
岛、
岛距离和为8海里处发现过鱼群。以
、
所在直线为
轴,
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线的标准方程;(6分)
(2)某日,研究人员在、
两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),
、
两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
,问你能否确定
处的位置(即点
的坐标)?(8分)
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