在平面直角坐标系
中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为
，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点。
(1)设抛物线的标准方程为
，则
，
所以抛物线方程为
（2）直线MO的方程：
，与联立解得A点坐标
，B点坐标
，得出直线AB的方程为：
，说明直线AB恒过定点（1,0）。
解析试题分析：(1)设抛物线的标准方程为，则，
所以抛物线方程为
（2）抛物线C的准线方程为
，设
，其中
，
直线MO的方程：，将与联立解得A点坐标。
同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：
整理得，故直线AB恒过定点（1,0）。
考点：本题主要考查直线方程，抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系。
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求抛物线标准方程时，主要运用了抛物线的几何性质。（2）证明直线过定点问题时，巧妙地假设，并应用假设字母表示点的坐标，值得学习。
阳光课堂同步练习系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）
已知椭圆
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,
,求直线
的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
(本小题12分)已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆的右焦点，
两点在椭圆
上，且
，定点
。
（1）若
时，有
，求椭圆的方程；
（2）在条件（1）所确定的椭圆下，当动直线
斜率为k，且设
时，试求
关于S的函数表达式f(s)的最大值，以及此时两点所在的直线方程。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分14分）
已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线
相切。记动点P的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分13分）
如图，已知椭圆
的焦点为
、
，离心率为
，过点
的直线
交椭圆
于
、
两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）①求直线的斜率
的取值范围；
②在直线的斜率不断变化过程中，探究
和
是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为
，右焦点
，双曲线的实轴为
，
为双曲线上一点（不同于
），直线
，
分别与直线
交于
两点
（1）求双曲线的方程；
（2）
是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。
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的圆心为原点
，且与直线
相切。
在直线
上，过
，切点为
，求证：直线
恒过定点。
的顶点为坐标原点
，焦点
在
轴上，准线
与圆
相切．
在抛物线
，求点
的坐标．