Question

16．已知集合M：{（x，y）|x²+y²≤1}与集合N：{（x，y）|（x-2）²+y²≤4}，Q（x，y）∈M∩N，则3x+4y的取值范围是[-4，5]．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离公式求出其范围即可．

解答 解：若集合M：{（x，y）|x²+y²≤1}，
集合N：{（x，y）|（x-2）²+y²≤4}，
Q（x，y）∈M∩N，
画出满足条件的平面区域，如图示：
，
令z=3x+4y，得：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
由题意得：直线-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和小圆相切时：z最大，
此时小圆的圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{\frac{z}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=1，解得：z=5，
直线-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和大圆相切时：z最小，
此时大圆的圆心（2，0）到直线的距离d=$\frac{|-\frac{3}{2}+\frac{z}{4}|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，解得：z=-4，
故答案为：[-4，5]．

点评 不同考查了元素和集合的关系，考查线性规划、点到直线的距离公式，是一道中档题．