Question

数列

αn

中，α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），则这个数列的通项公式a_n

=（n+1）（n+2）

．

Answer 1

分析：先根据条件求出数列的前几项，进而归纳猜想出数列的通项，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答：解：由α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），
得：a₂-a₁=

a1

2

+2+1⇒a₂=12=3×4；
同理可得：a₃=20=4×5；
a₄=30=5×6；
猜想：a_n=（n+1）（n+2）
证明：（1）当n=1时，a₁=2×3=6左边=1²=1，成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即a_k=（k+1）（k+2）
那么，当 n=k+1时，
a_k+1=a_k+

ak

k+1

+（k+1）+1=（k+1）（k+2）+

(k+1)(k+2)

k+1

+（k+1）+1=（k+2）（k+3）；
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案为：（n+1）（n+2）．

点评：本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项以及数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．