Question

已知函数f（x）=

1

x2

+4（x≠0），各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：?n∈N+，bn=

a 2 n

(3n-1) a 2 n +n

，S_n为数列{b_n}的前n项和，若S_n＞a对?n∈N⁺恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知

1

an+12

=

1

an2

+4，由此能得到

1

an2

=4n-3，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

1

an2

=4n-3，知bn=

an2

(3n-1)an2+n

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能求出S_n=

n

2n+1

，由S_n＞a对?n∈N⁺恒成立，能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

x2

+4（x≠0），
各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n）（n∈N⁺），
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，即

1

an+12

-

1

an2

=4，
∴{

1

an2

}是以1为首项4为公差的等差数列．
∴

1

an2

=4n-3，
∴an=

1

4n-3

．…（6分）
（2）∵

1

an2

=4n-3，
∴bn=

an2

(3n-1)an2+n

=

1

(3n-1)+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（10分）
∴(Sn)min=S1=

1

3

，
∵S_n＞a对?n∈N⁺恒成立，
∴a＜(Sn)min=S1=

1

3

，
故实数a的取值范围是（-∞，

1

3

）．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．