Question

已知函数f（x）=2Acos²（

π

6

x+φ）-A（X∈R，A＞0，|φ|＜

π

2

），y=f（x）的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ=

2π

3

，求△PRQ的面积．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为Acos（

π

3

x+2φ），由此求得函数的周期．再把点P（1，A）代入函数的解析式，可得cos（

π

3

+2φ）=1，结合 φ的范围求得 φ的值．
（2）设点Q的坐标为（x₀，-A），求得得 x₀=4，在△PQR中，∠PRQ=

2π

3

，由余弦定理求得A的值，再由 S_△PRQ=

1

2

RP•RQ•sin

2π

3

=

1

2

•A•

9+A2

•sin

2π

3

，运算求得结果．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2Acos²（

π

6

x+φ）-A=A[2cos²（

π

6

x+φ）-1）=Acos（

π

3

x+2φ），
故函数的周期为T=

2π

π 3

=6，
再由点P（1，A），可得 Acos（

π

3

+2φ）=A，cos（

π

3

+2φ）=1．

又因为|φ|＜

π

2

，所以 φ=-

π

6

．   …（6分）
（2）设点Q的坐标为（x₀，-A），由题意可知

π

3

x₀-

π

3

=π，得 x₀=4，所以Q（4，-A）．
连接PQ，则 PQ²=（4-1）²+（-A-A）²=9+4A²，
又因为 RP=A，RQ²=（4-1）²+（-A-0）²=9+A²，
在△PQR中，∠PRQ=

2π

3

，由余弦定理得 cos∠PRQ=

RP2+RQ2-PQ2

2RP•RQ

=

A2+9+A2-(9+4A2)

2A• 9+A2

=-

1

2

．
解得A²=3，∴A=

3

．
故S_△PRQ=

1

2

RP•RQ•sin

2π

3

=

1

2

•A•

9+A2

•sin

2π

3

=

1

2

×

3

×

12

×

3

2

=

3 3

2

． …（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，余弦定理、二倍角公式，以及三角形的面积公式，属于中档题．