Question

6．函数f（x）=$\frac{x-1}{{{x^2}+x+2}}$（2＜x＜4）的值域为（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{7}]$
• B． $[\frac{1}{8}，\frac{1}{7}]$
• C． $（\frac{1}{8}，\frac{1}{7}]$
• D． $（0，\frac{1}{7}]$

Answer 1

分析 求f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$，而f′（x）=0的解为x=-1，或3，从而可判断f′（x）在区间（2，4]上的符号，从而可得出f（x）的最大值为f（3），再比较f（2）和f（4）的大小，这样便可得出函数f（x）的值域．

解答 解：f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$；
∴2＜x＜3时，f′（x）＞0，3＜x＜4时，f′（x）＜0；
∴x=3时f（x）取最大值f（3）=$\frac{1}{7}$；
又f（2）=$\frac{1}{8}$，f（4）=$\frac{3}{22}$$＞\frac{1}{8}$；
∴$\frac{1}{8}＜f（x）≤\frac{1}{7}$；
∴f（x）的值域为$（\frac{1}{8}，\frac{1}{7}]$．
故选C．

点评 考查商的求导公式，根据导数求函数最大值的方法，以及根据导数求函数值域的方法与过程，熟练一元二次不等式的解法．