Question

已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（

9

5

m，

12

5

m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形     …（2分）
  2S_△ABC=3x+4y+5z=12?x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)   …（4分）

设t=2x+y，因为P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，
所以

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

   由线性规划得0≤t≤8
∴

12

5

≤x+y+z≤4                                         …（8分）
注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到

12

5

≤x+y+z≤4可得（5分），若给出了等号成立条件可全分．
（2）当m＞0时
由B（

9

5

m，

12

5

m），得tanA=

4

3

，∴cosA=

3

5

；             …（10分）
△ABC中，由余弦定理有：
25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-

16

5

bc≥

1

5

（b+c）²；当且仅当b=c时取等号，所以b+c≤5

5

所以，三角形的周长最大值为5+5

5

                                       …（14分）
当m＜0时，∠BAC为钝角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+5

5

综上所述，△ABC周长的最大值为5+5

5

．                   …（16分）