Question

【题目】已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R） （I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[ ，2]A，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当m=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|， f（x）≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化为：
或 或 ，
解得 或 或 ，
∴0≤x≤ 或 ＜x＜1或1≤x≤ ，
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤ }．
（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[ ，2]，
∴当x∈[ ，2]时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ，2]上恒成立，
∴|x+m|+2x﹣1≤2x+1，
即|x+m|≤2，∴﹣2≤x+m≤2，
∴﹣x﹣2≤m≤﹣x+2在x∈[ ，2]上恒成立，
∴（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min ，
∴﹣ ≤m≤0，
所以实数m的取值范围是[﹣ ，0]．
【解析】（Ⅰ）问题转化为|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ，2]上恒成立，根据（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min ， 求出m的范围即可．