Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线

x2

2

-y²=1有公共焦点，且离心率为

3

2

．问：以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角△ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出椭圆的方程，再设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），可得BC边所在直线的方程，分别求出|AB|，|BC|，由|AB|=|BC|，得k的值，由此知存在三个内接等腰直角三角形．

解答： 解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线

x2

2

-y²=1有公共焦点，且离心率为

3

2

，
∴c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得A（-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1），
∴|AB|=

8|k| 1+k2

1+4k2

用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k2

，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，故存在三个内接等腰直角三角形．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．