Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=2a_n-1；
（1）求数列{a_n}前n项的和S_n；
（2）若数列（b_n）满足b_n=logSn+1+12•logSn+12（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．代入S_n=2a_n-1，可得S_n=2（S_n-S_n-1）-1，化为S_n+1=2（S_n-1+1）．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的换底公式、裂项可得b_n=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
∵S_n=2a_n-1，∴S_n=2（S_n-S_n-1）-1，
化为S_n+1=2（S_n-1+1）．
∴数列{S_n+1}是等比数列，首项为a₁+1=2．
∴Sn+1=2×2n-1，
化为Sn=2n-1．
（2）数列（b_n）满足b_n=logSn+1+12•logSn+12=log2n+12•log2n2=

lg2

lg2n+1

•

lg2

lg2n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式、对数的换底公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．