Question

20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程化为${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出曲线C的直角坐标方．
（2）P的坐标为$（\sqrt{3}，0）$，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，由此能求出|PD|的长．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴x²+y²=2$\sqrt{3}y$，
∴曲线C的直角坐标方程为${x^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．
（2）P的坐标为$（\sqrt{3}，0）$，在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，
设点A，B，D对应的参数分别为t₁，t₂，t₃，
则${t_1}+{t_2}=3+\sqrt{3}$，t₁t₂=3，
$|PD|=|{t_3}|=|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}|=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
∴|PD|的长为$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程的互化，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标方程与极坐标方程互化公式的合理运用．