Question

10．已知sinx+cosx=$\frac{1}{3}$，且x是第二象限角．
求（1）sinx-cosx
（2）sin³x-cos³x．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得2sinxcosx=-$\frac{8}{9}$，再根据sinx-cosx=$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinx+cosx）}^{2}-4sinxcosx}$，计算求的结果．
（2）利用立方差公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵sinx+cosx=$\frac{1}{3}$，且x是第二象限角，∴sinx＞0，且cosx＜0，
且 1+2sinxcosx=$\frac{1}{9}$，∴2sinxcosx=-$\frac{8}{9}$，
∴sinx-cosx=$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinx+cosx）}^{2}-4sinxcosx}$=$\sqrt{\frac{1}{9}-2•（-\frac{8}{9}）}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
（2）sin³x-cos³x=（sinx-cosx）•（sin²x+sinxcosx+cos²x ）=$\frac{\sqrt{17}}{3}$•（1-$\frac{4}{9}$）=$\frac{{5\sqrt{17}}}{27}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．