Question

8．在△ABC中，已知$cosA=\frac{3}{5}，cosB=\frac{5}{13}$，AC=3，则AB=$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 由cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，进而求出sinC的值，再由b的长，利用正弦定理求出c的长即可．

解答 解：∵$cosA=\frac{3}{5}，cosB=\frac{5}{13}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcoB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
又∵AC=3，
∴由正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，可得：AB=$\frac{ACsinC}{sinB}$=$\frac{3×\frac{56}{65}}{\frac{12}{13}}$=$\frac{14}{5}$．
故答案为：$\frac{14}{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，考查了转化思想，属于基础题．