Question

17．已知椭圆C：x²+2y²=8，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 假设存在斜率为1的直线l，设l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算求得$m=±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$$∈[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$，故存在这样的直线l．

解答 解：假设存在斜率为1的直线l，使l被椭圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，
设l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由OA⊥OB知，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，整理得3x²+4mx+2m²-8=0，
∵△=16m²-4×3×（2m²-8）=-8m²+96≥0，得$-2\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{3}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$，
${y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{{m^2}-8}}{3}$，
${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{3{m^2}-16}}{3}=0$，
解得：$m=±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$$∈[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$，
故直线l存在，方程为$y=x±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．