【题目】如图,平面平面
,四边形
和
是全等的等腰梯形,其中
,且
,点
为
的中点,点
是
的中点.
(I)请在图中所给的点中找出两个点,使得这两个点所在直线与平面垂直,并给出证明;
(II)求二面角的余弦值;
(III)在线段上是否存在点
,使得
平面
?如果存在,求出
的长度,如果不存在,请说明理由.
【答案】(I)见解析;(II);(III)见解析.
【解析】试题分析: 法一:向量法,分别以边
,
,
所在直线为
,
,
轴,给出相应点坐标,证明
,
法二:先证
接着证明所以
平面
即
最后证得结果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面
的法向量,利用公式即可算出结果(3)法一:借助向量假设存在,计算可得
矛盾,故不存在;法二:假设存在点
,证得平面
平面
,即有
为平行四边形,所以
,矛盾
解析:法一:向量法
(I),
点为所求的点.
证明如下:
因为四边形是等腰梯形,点
为
的中点,点
是
的中点,
所以.
又平面
平面
,平面
平面
=
,
所以
平面
同理取的中点
,则
平面
.
分别以边,
,
所在直线为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由,得
,
,
,
,
则,
,
.
所以,
又,
所以平面
(II)由(I)知平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,则
即
令,则
,
所以
所以
所以二面角的余弦值为
(III)假设存在点,使得
平面
.
设
所以
,所以
而计算可得
这与矛盾
所以在线段上不存在点
,使得
平面
法二:(I)证明如下:
因为四边形是等腰梯形,点
为
的中点,点
是
的中点,
所以
又平面平面
,平面
平面
,
所以
平面
因为
平面
,所以
,
又,且
,
所以为菱形,所以
因为,
所以平面
.
(III)假设存在点,使得
平面
由,所以
为平行四边形,
所以
因为平面
所以平面
又,所以平面
平面
,
所以平面
,所以
,
所以为平行四边形,所以
,矛盾
所以不存在点,使得
平面
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【题目】如图是一段圆锥曲线,曲线与两个坐标轴的交点分别是.
(1)若该曲线为椭圆(中心为原点,对称轴为坐标轴)的一部分,设直线过点
且斜率是
,求直线
与该段曲线的公共点的坐标.
(2)若该曲线为抛物线的一部分,求原抛物线的方程.
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【题目】某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用(万元)和宿舍与工厂的距离
的关系为:
.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条简易便道,已知修路每公里成本为
万元,工厂一次性补贴职工交通费
万元.设
为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和.
⑴求的表达式;
⑵宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用最小,并求最小值.
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【题目】【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(1)A.【选修4—1几何证明选讲】
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC , D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.
(2)B.【选修4—2:矩阵与变换】
已知矩阵A= 矩阵B的逆矩阵B﹣1=
,求矩阵AB.
(3)【选修4—4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为
(
为参数).设直线l与椭圆C相交于A , B两点,求线段AB的长.
(4)D. 设a>0,|x﹣1|< ,|y﹣2|<
,求证:|2x+y﹣4|<a.
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【题目】(本小题满分12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+
.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测.
地区 | |||
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
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【题目】设f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2 .
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(
)的值.
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