Question

【题目】设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：因为f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，

且1﹣x+x2﹣x3= ，

所以 ≤ ，

所以1﹣x+x2﹣x3≤ ，

即f（x）≥1﹣x+x2；

（2）

证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，

所以f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ；

由（1）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ，

且f（ ）= + = ＞ ，

所以f（x）＞ ；

综上， ＜f（x）≤ ．

【解析】（1）根据题意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放缩法得 ≤ ，即可证明结论成立；（2）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x）≤ ，再利用配方法证明f（x）≥ ，结合函数的最小值得出f（x）＞ ，即证结论成立．本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．