【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsimB.
(1)求角C;
(2)向量 =(sinA,cosB),
=(cosx,sinx),若函数f(x)=
的图象关于直线x=
对称,求角A,B.
【答案】
(1)解:△ABC中,cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB,
∴(1﹣sin2B)﹣(1﹣sin2C)﹣sin2A=sinAsinB,
∴sin2C﹣sin2B﹣sin2A=sinAsinB,
∴c2﹣b2﹣a2=ab,
∴cosC= =
=﹣
,
又C∈(0,π),
∴C= ;
(2)解:向量 =(sinA,cosB),
=(cosx,sinx),
∴函数f(x)=
=sinAcosx+cosBsinx;
又f(x)的图象关于直线x= 对称,
∴f( +x)=f(
﹣x),
∴sinAcos( +x)+cosBsin(
+x)=sinAcos(
﹣x)+cosBsin(
﹣x),
∴sinA[cos( +x)﹣cos(
﹣x)]+cosB[sin(
+x)﹣sin(
﹣x)]=0,
∴﹣2sinAsin sinx+2cosBcos
sinx=0,
∴2sinx(﹣sinAsin +cosBcos
)=0;
又sinx≠0,∴sinAsin ﹣cosBcos
=0,
又B= ﹣A,∴sinAsin
﹣cos(
﹣A)cos
=0,
∴ sinA﹣
cosA=0,
∴ sin(A﹣
)=0,
∴sin(A﹣ )=0;
又A∈(0, ),
∴A﹣ ∈(﹣
,
),
∴A﹣ =0,
∴A= ;
∴B= ﹣A=
.
【解析】(1)根据三角恒等变换和正弦、余弦定理化简等式,求出cosC的值,即得C的值;(2)由平面向量的数量积求出函数f(x),根据f(x)的图象关于直线x= 对称,得出f(
+x)=f(
﹣x),利用三角恒等变换得出sinx(﹣sinAsin
+cosBcos
)=0;再由sinx≠0,A+B=
,求出A、B的值.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:
;
;
才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测.
地区 | |||
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与
的关系,请建立
关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考公式:设具有线性相关关系的两个变量的一组观察值为
,
则回归直线方程的系数为:
,
.
参考数据: ,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表:
使用年数x(单位:年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y(单位:万元) | 1.5 | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
根据上标可得回归直线方程为 =1.3x+
,若该设备维修总费用超过12万元,据此模型预测该设备最多可使用年.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
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