Question

16．在△ABC中，若1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，则角A的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，由正弦定理可得$\frac{c}{b•cosA}$=$\frac{2c}{b}$，可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{c}{b•cosA}$=$\frac{2c}{b}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．