Question

平面内动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）若点A，B，C是Γ上的不同三点，且满足．证明：△ABC不可能为直角三角形．

Answer 1

（Ⅰ）解：由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，
所以点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
则由，，，
可得（x₂-x₁）（x₃-x₁）+（y₂-y₁）（y₃-y₁）=0．…（6分）
因为（i=1，2，3），y₁≠y₂，y₁≠y₃，
所以（y₁+y₂）（y₁+y₃）+16=0．…（8分）
又因为，所以x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
所以y₂y₃=-16． ①
又，
所以，即． ②…（10分）
由①，②得，所以． ③
因为△=（-22）²-4×256=-540＜0．
所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．…（12分）
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由，
得x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0．…（6分）
由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°．
（1）当AB⊥x轴时，x₁=x₂，y₁=-y₂，从而x₃=3-2x₁，y₃=0，即点C的坐标为（3-2x₁，0）．
由于点C在y²=4x上，所以3-2x₁=0，即，
此时，，C（0，0），则∠A≠90°．…（8分）
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y²=4x，
整理得：y²-4ty-4m=0，则y₁+y₂=4t．
若∠A=90°，则直线AC的斜率为-t，同理可得：．
由y₁+y₂+y₃=0，得，，y₃=-4t．
由x₁+x₂+x₃=3，可得．
从而+（-4t）²=12，
整理得：，即8t⁴-11t²+8=0，①
△=（-11）²-4×8×8=-135＜0，所以方程①无解，从而∠A≠90°．…（11分）
综合（1），（2），△ABC不可能是直角三角形．…（12分）
分析：（Ⅰ）由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）解法一：利用反证法，假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，利用，及，可建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论；
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由，得x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°，分类讨论，斜率存在时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y²=4x，再假设∠A=90°，建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论．
点评：本题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．